Ecuaciones diferenciales ordinarias
Más detalles
La calculadora resuelve \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de diferentes órdenes, a saber:
Ecuaciones separables: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)
Ecuaciones hom*ogéneas: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)
Ecuaciones lineales de primer orden: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)
Ecuaciones de la forma: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)
Ecuación diferencial de Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)
Ecuación de Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)
Ecuaciones diferenciales exactas: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)
Ecuaciones diferenciales inexactas: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — donde \(\mu\) es un factor integrante
Diferencial total: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)
Ecuaciones no resueltas respecto al derivado: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)
Ecuaciones de la forma: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) y \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)
Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)
Ecuaciones de Cauchy-Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)
Resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias:
hom*ogéneas lineales con coeficientes constantes: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)
No hom*ogéneas lineales con coeficientes constantes: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)
Resuelve ecuaciones y sistemas con condiciones iniciales (problema de Cauchy)
Integrales indefinidas y definidas
Más detalles
La calculadora resuelve \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — integrales indefinidas utilizando los siguientes métodos:
Lista común de integrales \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)
Regla de suma y diferencia \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)
Regla del múltiplo constante \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)
Regla de sustitución \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)
Integración de funciones racionales: trigonométricas \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbólicas \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); fracciones \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)
Descomposición en fracciones parciales: factorización de polinomios, método de Ostrogradsky \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\)
Integrales de la forma: \(\displaystyle\int\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\;\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}\;\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)
Integración por partes \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\)
Sustitución de Euler para \(\displaystyle\int\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\;\mathrm{d}x\)
Utiliza fórmulas conocidas de integración, integral de valor absoluto, funciones integrales \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), diferencial total \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), sustitución de medio ángulo tangencial, fórmula de Euler \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)
Utiliza fórmulas exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y hiperbólicas
La calculadora resuelve \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — integrales definidas aplicando el teorema fundamental del cálculo, verifica si una función es par, impar o periódica
Para calcular integrales impropias, la calculadora considera límites en el infinito, límites laterales izquierdos y derechos
Lista de funciones matemáticas involucradas:
\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)
Ecuaciones
Más detalles
La calculadora resuelve \(f\left(x\right)=0\) — ecuaciones, a saber:
Define el dominio de una función \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)
Ecuaciones lineales \(a\,x+b=0\)
Ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales y complejos \(a\,x^2+b\,x+c=0\)
Ecuaciones cúbicas de la forma \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)
Ecuaciones cúbicas \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)
Ecuaciones cuárticas de la forma \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) y \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)
Producto de cuatro términos de una progresión aritmética \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)
Varias ecuaciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas, y sus inversas
Aplica el método de Ferrari para resolver ecuaciones cuárticas \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)
Encontrar una raíz racional \(x=\dfrac{m}{n}\), factorización \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)
Soluciones conocidas de ecuaciones trigonométricas simples, hiperbólicas e inversas
Encontrar raíces de un número complejo \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)
Sustitución por tangente de medio ángulo \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) y \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) donde \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
Teorema del binomio \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)
Identidades polinómicas de suma y diferencia \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)
Combinar términos semejantes, factorizar un término común \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)
Multiplicación cruzada de fracciones \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\), completar el cuadrado \((a+b)^2+c\)
Exponenciación de ambos lados para eliminar logaritmos naturales
Logaritmo complejo \(\ln\left(a+i\,b\right)\), fórmula de Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)
Ecuaciones funcionales simples \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)
Derivada de una función
Más detalles
La calculadora computa la derivada de una función \(f\left(x\right)\) o \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) y muestra las reglas utilizadas para calcular la derivada
Se definen las siguientes reglas:
Derivadas comunes de \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)
Regla de la constante \((c)'=0\)
Regla del múltiplo constante \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)
Regla de la suma \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)
Regla de la diferencia \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)
Regla del poder \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)
Regla del producto \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)
Regla del cociente \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)
Regla del recíproco \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)
Regla de la cadena \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)
Valor absoluto \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)
Función signo \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\) donde \(\delta\) es la función delta de Dirac
Límite de una función
Más detalles
La calculadora encuentra el límite de una función \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) utilizando las siguientes propiedades:
Límite de una constante \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)
Regla del múltiplo constante \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)
Regla de suma y diferencia \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)
Regla del producto \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)
Regla del cociente \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), si \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)
Límite de una función exponencial \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)
Límites comunes \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) y \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)
Teorema del sándwich: si \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)
Regla de L'Hôpital: si \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (o ambos iguales a \(\infty\)), entonces \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)
Serie de Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)
Aplica multiplicación por conjugado, sustituciones y la fórmula de Euler
Evalúa límites de dos lados \(x\to{a}\) y de un solo lado \(x\to{a+}\)
Números complejos
Más detalles
La calculadora convierte una expresión compleja \(f(z)\) en sus formas algebraica \(z=a+i\,b\), trigonométrica \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) y exponencial \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) utilizando:
Módulo de un número complejo \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Raíz de un número complejo \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)
Potencia de un número complejo \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)
Multiplicar una fracción por su conjugado \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)
Logaritmo complejo \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)
El valor principal del logaritmo complejo \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)
Fórmulas trigonométricas e hiperbólicas como \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) o \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), y la fórmula de Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)
Cálculos matriciales
Más detalles
La calculadora calcula expresiones dadas con matrices \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) y \(\mathrm{C}\)
Su funcionalidad incluye operaciones matriciales como: adición \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), sustracción \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), multiplicación \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinante \(\left|\mathrm{A}\right|\), transpuesta \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rango \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), inversión \(\mathrm{A}^{-1}\), multiplicación por una constante \(a\cdot\mathrm{B}\) o adición con una constante \(c+\mathrm{A}\)
Calcula la derivada de los elementos de la matriz \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) o integral de los elementos de la matriz \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)
Aplica funciones matemáticas \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) elemento por elemento en una matriz, por ejemplo \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)
Evalúa tanto valores numéricos como combinaciones de operaciones aritméticas y funciones
